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　自然数$N$に対して，Arnoldの猫写像とは，次式で定まる写像$F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$を指す： \begin{equation} F\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \pmod N. \end{equation}

　自然数$N$とArnoldの猫写像$F$に対して， \begin{equation} T = \min\left\{ k\in\mathbb{N} \mid \text{任意の点$p$に対して，}F^k(p) = p \right\} \end{equation} を周期という．

　次のような画像で実験してみよう．

この画像に猫写像を何度か作用させるのだ．一旦はぐちゃぐちゃになるんだが，何度か作用させると元に戻る．このとき，作用させた回数が周期だ．まあ，とりあえずやってみよう．$15$回ほど反復させた図を下図に示した．

画像サイズ$N$に対して周期がどのように変化するか調べてみよう．周期に関してはいくつか式が知られているが，ここではコンピュータの力を借りて愚直に調べる．画像サイズ$N$を変化させるごとに，猫写像を何度も作用させ，画像が一致するまで繰り返す．下図の横軸が$N$，縦軸が周期である．傾向として，$N$が大きくなるに従って周期も大きくなる．また，なんとなく規則性もありそう...